Det gyllene snittet: vad det är, var det finns och hur det används i konst och inramning

Det gyllene snittet, förhållandet 1 till 1,618, har fascinerat matematiker och konstnärer i över två tusen år. Här går vi igenom vad det är, hur man räknar på det, var det faktiskt förekommer, och hur vi använder det när en tavla ska få sin passepartout.

Vad är det gyllene snittet?

Dela en sträcka i två delar så att hela sträckan förhåller sig till den längre delen på samma sätt som den längre delen förhåller sig till den kortare. Då har du delat den i det gyllene snittet. Förhållandet är ett irrationellt tal, betecknat med den grekiska bokstaven φ (fi), och det börjar 1,6180339…

(a + b) / a = a / b = φ ≈ 1,618

Här är a den längre delen och b den kortare. En rektangel vars sidor förhåller sig som 1 till 1,618 kallas en gyllene rektangel. Klipper man bort en kvadrat ur den blir resten en ny gyllene rektangel, och så vidare i det oändliga. Det är den egenskapen som gör talet matematiskt speciellt.

Hur man beräknar det gyllene snittet

Skriver man om förhållandet ovan som en ekvation får man x² − x − 1 = 0, vars positiva lösning är φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618. Den negativa lösningen är −0,618, och därav en egenhet: 1/φ = φ − 1 = 0,618. Att dela med φ är samma sak som att multiplicera med 0,618.

I praktiken behöver du bara två räkneregler. Vill du ha den större delen av ett mått multiplicerar du med 0,618; vill du ha ett mått som är "ett gyllene snitt större" multiplicerar du med 1,618. En bild som är 30 centimeter bred ger till exempel 30 × 1,618 ≈ 48,5 centimeter.

Historien

• Omkring 300 f.Kr. Euklides beskriver delningen i sitt verk Elementa, som "delning i yttersta och mellersta förhållandet". Han gör inga anspråk på att den är vacker; för honom är den geometri.
• 1509. Matematikern Luca Pacioli ger ut De divina proportione med illustrationer av Leonardo da Vinci. Det är här förhållandet får sitt rykte om att vara "gudomligt". Att Leonardo själv byggde sina målningar på det finns det däremot inga belägg för.
• 1835. Martin Ohm använder uttrycket "det gyllene snittet" i en lärobok, och namnet fastnar.
• 1854. Adolf Zeising hävdar att gyllene snittet är en universell lag för skönhet i natur och konst. De flesta påståenden om kroppar, snäckor och tempel som cirkulerar i dag går tillbaka till honom, inte till grekerna.
• Omkring 1910. Mark Barr föreslår bokstaven φ som symbol, efter skulptören Feidias.
• 1948. Le Corbusier publicerar Le Modulor, ett måttsystem för arkitektur byggt på gyllene snittet och en människokropp.

Gyllene snittet och Fibonacci

Fibonaccis talföljd börjar 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, där varje tal är summan av de två föregående. Delar man ett tal med det närmast föregående får man 1, 2, 1,5, 1,667, 1,6, 1,625, 1,615… och kvoten närmar sig φ för varje steg. Det är därför de två ofta nämns ihop, och det är därför en "gyllene spiral" ritad genom Fibonacci-kvadrater ser ut som den gör. Sambandet är exakt och vackert, men det säger ingenting om huruvida ögat föredrar proportionen.

Var det gyllene snittet finns, och var det inte finns

Gyllene snittet omges av mer myter än nästan något annat tal, och vi väljer att vara ärliga om dem.

• I växter: ja. Solrosens frön och kottens fjäll sitter i spiraler vars antal är Fibonacci-tal, och vinkeln mellan nya blad på en stjälk är ofta nära den "gyllene vinkeln" på 137,5 grader. Det ger tätast möjliga packning och är väl belagt.
• Nautilussnäckan: nej. Snäckan är en logaritmisk spiral, men dess tillväxtkvot ligger kring 1,33, inte 1,618.
• Parthenon: nej. Måtten på templet varierar mellan källorna, och som matematikern George Markowsky visade 1992 kan man få fram nästan vilket förhållande som helst genom att välja var man mäter. Templet ritades utan φ.
• Leonardo da Vinci: nej. Han illustrerade Paciolis bok, men det finns inga belägg för att han komponerade Mona Lisa eller Nattvarden efter gyllene snittet.
• I konsten: ibland, medvetet. Salvador Dalí byggde Nattvardens sakrament (1955) på en gyllene rektangel och en dodekaeder, Le Corbusier ritade hus efter Modulor, och många formgivare använder φ som ett verktyg för att välja proportioner. Där är det ett val, inte en naturlag.

Är gyllene snittet vackrast?

Det har prövats. Gustav Fechner lät på 1870-talet människor välja den rektangel de tyckte bäst om bland ett antal olika. Många valde former nära gyllene snittet, men lika många valde 1,5 eller 1,75, och toppen var bred snarare än en spik vid 1,618. När Michael Godkewitsch gjorde om försöket 1974 med andra uppsättningar rektanglar visade det sig att resultatet styrdes av vilka alternativ som visades, inte av något inneboende i proportionen. Senare studier har landat på samma sak. Astrofysikern Mario Livio, som skrivit den grundligaste boken om talet, sammanfattar det med att gyllene snittet inte bör användas som en universell måttstock för skönhet.

Det betyder inte att det är oanvändbart. Tvärtom: ett fast förhållande är ett utmärkt sätt att bestämma sig när man annars skulle gissa, och 1,618 ger proportioner som de flesta upplever som lugna. Skillnaden är att det är ett verktyg, inte ett facit.

Gyllene snittet i inramning

I ramverkstaden dyker gyllene snittet upp på två ställen: i ramens yttermått och i passepartoutens marginaler.

Ramens storlek

Ett vanligt räknesätt är att multiplicera bildens mått med 1,618 för att få passepartoutens yttermått. En bild på 30 × 40 centimeter ger 48,5 × 64,7, avrundat 49 × 65. Kartongen blir då omkring 9 centimeter bred på sidorna och 12 upptill och nedtill, vilket är i bredaste laget för ett så litet motiv men ger en tavla med tyngd på väggen.

Marginalerna

Det andra sättet är att låta nederkanten vara 1,618 gånger så bred som överkanten. Är överkanten 4 centimeter blir nederkanten 6,5, och sidorna läggs någonstans mellan. Det ger en tydligt tyngre bas och passar klassiska motiv, grafik och lugnt komponerade fotografier.

Det vanligaste i verkstaden är ändå något mildare: lika breda sidor och överkant, och en nederkant som är en halv till två centimeter bredare. Det kallas optisk mitt och beror på att ögat uppfattar mitten på en yta som lite högre än den geometriska mitten. En bild som sitter exakt centrerad ser ut att hänga för lågt.

När det inte passar

Ett fotografi eller ett modernt verk som redan är välkomponerat kan förlora sin kraft av en stor passepartout. Då är lika runt om, eller ett minimalt avstånd till ramen, ofta bättre. Abstrakt konst utan tydlig upp- och nedsida gör man också gärna symmetrisk. Gyllene snittet är en vägledning, inte en regel, och det ska anpassas efter motivet.